Ваз 6 тюнинг: Тюнинг на ВАЗ 2106 (шестерка) купить с доставкой по РФ

( A ) Схема, иллюстрирующая эффективный DMI, стабилизированный хиральными спиновыми текстурами от нескольких интерфейсов ( D _eff ).( B ) Схема THE (ρ _THE ), которая возникает в результате накопления фазы Берри носителем заряда, проходящим через хиральную спиновую текстуру. Последнее действует как возникающее эффективное магнитное поле ( B _eff ) в реальном пространстве. ( C и D ) Управление инверсионной симметрией в сверхрешетках LaMnO ₃ / SrIrO ₃ путем искусственного изменения межфазной границы. Обычный рост сверхрешетки с окончанием слоя типа BO ₂ создает различные верхние и нижние структуры интерфейса ( D12 ), как показано на (D).Мы просто дифференцируем структуру интерфейса согласно количеству соединяющихся атомных слоев SrO [т.е. D1 указывает последовательность укладки (движение вверх) LaO-MnO ₂ -LaO]. ( E ) DMI можно контролировать в гетероструктуре перовскита ABO ₃ / A’B’O ₃ путем конструирования структур межфазных слоев путем введения слоев SrO2 во время роста пленки, таким образом контролируя инверсионную симметрию. Интерфейсы могут быть инверсионно-симметричными, где верхний интерфейс — D2 , а нижний интерфейс — зеркало — D2 , как в сверхрешетке D22 , или инверсионная симметрия может быть нарушена, когда структура интерфейса различна, как показано для сверхрешетки . D13 (объединяет D1 и D3 ).

Открытие того, что DMI можно настраивать с использованием различных комбинаций материалов, структур и архитектур пленок, привело к взрыву интереса к изучению тонких пленок с ферромагнетиком 3 d и тяжелым (т.е. 4 d и 5 d ) слои элемента. В цельнометаллических мультислоях скирмионные фазы наблюдались в диапазоне температур и приложенных полей, которые выходили далеко за пределы узких областей фазовой стабильности, которые впервые были обнаружены в объемных нецентросимметричных системах ( 2 , 5 , 14 , 15 , 18 , 20 — 22 ).Совсем недавно магнитные сверхрешетки и мультислои с кооперативным DMI из нескольких интерфейсов позволили изучить индуцированное током движение и стабильность скирмионов до комнатной температуры ( 14 , 15 , 23 , 24 ). Несмотря на недавние замечательные достижения, также остается проблемой управлять хиральными магнитными взаимодействиями для удовлетворения требований к размеру и стабильности спиновых текстур для практических приложений в устройствах памяти высокой плотности, и отсутствует понимание связи между явлениями электронного переноса и хиральный магнетизм ( 7 , 11 , 19 , 25 ).

Недавно было обнаружено, что добавление оксидных слоев к металлическим многослойным слоям может значительно повысить прочность DMI за счет межфазной электростатики и переноса заряда ( 26 ), в то время как сильные электронные корреляции могут обеспечить исключительно большие ТЭН в тонких оксидных пленках ( 27 ). В частности, благодаря большому SOC элемента Ir 5 d и послойному наложению и атомарному контролю роста, достижимому в эпитаксиальных оксидах, гетероструктуры на основе SrIrO ₃ предоставляют отличную возможность для изучения происхождения межфазный DMI и связанный с ним отклик Холла ( 28 — 31 ).

Здесь мы показываем появление очень устойчивой киральной магнитной фазы, демонстрирующей большой THE в сверхрешетках LaMnO ₃ / SrIrO ₃ . Управляя архитектурой фильма и структурами интерфейса, мы определяем, что THE исходит из DMI, созданного на интерфейсе 3 d -5 d . Ключевым наблюдением является наша способность модулировать THE почти на порядок за счет создания симметрии интерфейса с немагнитными слоями A-узла.Мы обсуждаем взаимосвязь между THE и ролью структуры атомных интерфейсов в качестве стимула конкуренции между межфазными коллинеарными ферромагнитными (FM) взаимодействиями и киральными DMI в качестве стратегии миниатюризации киральных спиновых текстур, возникающих из интерфейсов.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Эпитаксиальные [(LaMnO ₃ ) _n / (SrIrO ₃ ) _n ] _m supersereds 001 лазерное напыление (PLD).Сверхрешетки с n = от 1 до 12 элементарных ячеек (u.c.) были созданы с повторением слоев ( m ), выбранным для создания общей толщины ~ 50 нм. Сканирование дифракции рентгеновских лучей (рис. S1) показало, что все образцы были фазово-чистыми и когерентно деформированными. Природная слоистая структура AO-BO ₂ -AO-BO ₂ перовскита ABO ₃ , показанная на рис. 1C (т. Е. A = La или Sr, B = Mn или Ir, соответственно, для LaMnO ₃ и SrIrO ₃ ) может обеспечить систематический контроль над инверсионной симметрией структуры путем тщательной настройки наложения слоев на отдельных интерфейсах.Этот контроль структуры интерфейса показан на рис. 1 (D и E) для трех примеров [(LaMnO ₃ ) _n / (SrIrO ₃ ) _n ] _m Сверхрешетки с фиксированными n и m , которые являются либо инверсионно-симметричными, либо асимметричными, в зависимости от расположения межфазных слоев A-узла. Управление PLD в атомном масштабе позволяет систематически создавать каждую из этих структур, как обсуждается в разделе «Материалы и методы», и проверять с помощью высокоугловой кольцевой сканирующей электронной микроскопии в темном поле (HAADF-STEM), как показано на рис.S2. Этот межфазный контроль имеет центральное значение для выявления конкурирующих эффектов между межфазной магнитной связью и DMI.

Влияние межфазной связи между оксидными слоями 3 d и 5 d отражается в изменении магнитных свойств, зависящих от поля и температуры, с толщиной слоя n (рис. S3 и S4). По сравнению с одним слоем LaMnO ₃ , который является FM при выращивании с использованием PLD ( 32 ), сверхрешетки LaMnO ₃ / SrIrO ₃ с n = от 1 до 3 мкм.c. имели более низкую температуру Кюри ( T, _C ) и намагниченность насыщения ( M _S ) и большую магнитную коэрцитивную силу ( H _C ). Мы обнаружили немонотонную связь между M _S и n , причем наибольшее значение M _S наблюдается при n = 5. Этот результат согласуется с общей намагниченностью, зависящей от объемной и интерфейсной намагниченности с вкладами. из Ir и Mn, как это наблюдается в других системах манганит / иридат ( 30 , 33 , 34 ) (см. дальнейшее рассмотрение интерфейсного магнетизма в Обсуждении).Кроме того, межфазные октаэдрические вращения влияют на валентный угол B-O-B, а межфазный перенос заряда и перераспределение изменяют заполнение орбиты, оба из которых изменяют межфазные обменные взаимодействия и намагниченность в гетероструктурах перовскита ( 35 — 37 ). Эти явления, которые обычно действуют на коротких (от 0,4 до 2 нм) масштабах длины ( 35 ), могут объяснять немонотонную взаимосвязь между толщиной слоя и M _S в LaMnO ₃ / SrIrO ₃ , поскольку наблюдалось и для других сверхрешеток манганита ( 38 ).Увеличение T _C с увеличением n до ∼150 K и уменьшение H _C наблюдались для n = от 5 до 12 ед. Все пленки обладали магнитной анизотропией типа «легкая плоскость». Однако разница в H _C , измеренная для H , примененных в плоскости и вне плоскости, была значительной только для n ≤ 3 u.c. (рис. S4C). Большое усиление H _C для n ≤ 3 ед. похож на SrMnO ₃ / SrIrO ₃ и La _x Sr _{1− x} MnO ₃ / SrIrO ₃ сверхрешетки с взаимодействием магнитного поля с преобладанием межзарядного взаимодействия 30 , 33 ).Напротив, магнетизм сверхрешеток с большой толщиной LaMnO ₃ ( n = 12 u.c.) был аналогичен магнетизму одиночных слоев LaMnO ₃ . Таким образом, общая зависимость от толщины слоя предполагает конкуренцию между межфазными взаимодействиями и собственным ферромагнетизмом LaMnO ₃ .

Чтобы понять влияние возникающего магнетизма на границе раздела фаз на перенос электронов, мы измерили удельное сопротивление Холла (ρ _xy ) как функцию H при 10 K, что значительно ниже T _C для всех сверхрешеток.Холловское сопротивление типичного коллинеарного ферромагнетика описывается соотношением ρ _xy = ρ _OHE + ρ _AHE = R ₀ H + R _{S47 932 где обычное (ρ OHE ) и аномальное (ρ AHE ) сопротивления Холла представляют собой линейные отклики приложенного поля ( H ) и намагниченности ( M ) с соответствующими масштабными коэффициентами R 0 и R S ( 8 ).Как показано на рис. 2А, для короткопериодических или длиннопериодных сверхрешеток (т. Е. n = 3 и 12 мкС соответственно) удельное сопротивление Холла удовлетворительно описывается комбинацией обычного эффекта Холла (ОЭ) и аномального эффекта Холла. эффект (AHE), указывающий на коллинеарное состояние FM. Например, эффект Холла n = 3 аналогичен эффекту SrMnO 3 / SrIrO 3 сверхрешеток, в которых преобладают коллинеарные межфазные FM-взаимодействия ( 30 ). Этот результат также согласуется с известным правилом минимальной критической толщины для тяжелого слоя, ниже которого любой DMI может быть слишком слабым для образования хиральных доменных стенок ( 39 ).Кроме того, состояние FM становится энергетически выгодным даже в присутствии DMI, когда магнитная анизотропия велика ( 40 ), что согласуется с FM, совпадающим с усилением H C для n ≤ 3 LaMnO 3 / SrIrO 3 сверхрешеток. Для длиннопериодических сверхрешеток (т. Е. n = 12 мкК) АЭХ из-за ферромагнетизма можно понимать как доминирующий эффект собственного ферромагнетизма толстого слоя над уменьшающимся (т.е., усредненный по объему) эффект межфазного DMI ( 41 ).}

( A ) Эффект Холла ρ _xy , измеренный при 10 K и показанный для сверхрешеток n = от 3 до 12 u.c. D12 Сверхрешетки типа . ( B ) Намагниченность, измеренная для n = 5 u.c. сверхрешетки, которая одинакова для всех n в показанном масштабе. ( C ) Температурная зависимость удельного сопротивления Холла (ρ _xy ) для n = 5 u.c. сверхрешетки, измеренные в полях до 30 Тл ( D ) Определение топологического холловского сопротивления ρ _THE из n = 5 мк.с. при нескольких температурах, полученных для уменьшающихся (от + H до — H ) измерений приложенного магнитного поля. ( E ) Топологическое сопротивление Холла (ρ _THE ) показано как функции температуры и приложенного поля. ( F ) Температурная зависимость максимального значения ρ _THE взята из (D) и (E).Данные от (A) до (D) показаны с вертикальным смещением для ясности.

Для среднего уровня n = от 4 до 6 ед. сверхрешетки, однако, возникает сильно усиленный отклик Холла с совершенно другим поведением. В частности, большая немонотонная зависимость от магнитного поля и явное гистерезисное поведение наблюдались в магнитных полях до 9 Тл, максимального магнитного поля, использованного на фиг. 2А. В то время как намагниченность достигает насыщения при H > 2 Тл (рис. 2B и рис.S3), гистерезис холловского сопротивления не следует за сеткой M или H . Мы отметили, что хотя несколько разделенных FM-слоев с противоположными знаками AHE могут вызывать зависящие от поля аномалии в сопротивлении Холла ( 42 , 43 ), мы не наблюдали никаких особенностей намагниченности, которые указывали бы на отчетливое образование двух FM-слоев в LaMnO ₃ / SrIrO ₃ . Этот дополнительный компонент Холла для n = от 4 до 6 мксек. сверхрешетки могут быть отнесены к хиральной магнитной фазе, индуцированной межфазным DMI, приводящей к THE (более подробно обсуждается ниже) ( 1 , 7 ).Это описывается дополнительным членом ρ _THE в эффекте Холла (т.е. ρ _xy = ρ _OHE + ρ _AHE + ρ _THE ). Чтобы понять происхождение кирального магнетизма и его связь с наблюдаемым ТЕМ, мы дополнительно исследовали температурно-зависимый эффект Холла с n = 5 u.c. сверхрешетки в магнитных полях до 30 Т. При Тл = 300 К, значительно выше Тл _C , наблюдался четкий линейный отклик, как показано на рис.2C, что указывает на поведение OHE с типом n . Для температур ниже T _C ~ 150 K, AHE из-за коллинеарного FM развивается с R _S , аналогичным по величине короткопериодному n = 3 u.c. сверхрешетка. Ниже 50 K наблюдалось сильное увеличение ρ _xy в виде выраженной кривизны с последующим появлением гистерезиса в большой области H .

THE был изолирован от ρ _OHE и ρ _AHE с использованием стандартного подхода.OHE был принят как наклон ρ _xy при 30 T, а AHE был определен путем экстраполяции измеренной намагниченности на 30 T, чтобы пересечь линейную область H ρ _xy , как показано на рис. 2D. Результирующий THE показан как функция T и H на рис. 2E, который был измерен при развертке H от +30 до -30 T. Кружки и пунктирная линия дают оценку области фазовой стабильности. с | ρ _xy | <1 мкОм⋅см, что больше по сравнению с предыдущими отчетами для систем с интерфейсным DMI.Максимальное значение ТЕ при каждой температуре, показанное на рис. 2F, довольно велико по сравнению со слоистыми оксидами или объемными материалами с сильным DMI, которые обычно составляют от нескольких нОм⋅см до 1 мкОм⋅см. Недавние теоретические исследования также выявили возможность возникновения сильных DMI и THE на границе раздела иридат / манганит, что согласуется с нашими экспериментальными наблюдениями [см. Рис. S5, раздел S2, и ( 44 )]. Эти результаты указывают на очень устойчивую хиральную фазу, стабилизированную в сверхрешетках промежуточного периода LaMnO ₃ / SrIrO ₃ с n = от 4 до 6 мкм.c.

Соотношения между инверсионной симметрией, DMI и THE были дополнительно проверены путем исследования n = 5 u.c. сверхрешетки, выращенные с использованием различных структур интерфейсных слоев D12 , D22 и D13 , которые схематически показаны на рис. 1 (D и E). Гипотеза состоит в том, что степень нарушения инверсионной симметрии по отношению к слою LaMnO ₃ должна отражаться на силе общего DMI, который создается аддитивно из нескольких границ раздела в сверхрешетке.Из-за того, что THE возникает в результате взаимодействия между носителями заряда и пространственно изменяющейся текстурой магнитного спина, величина THE зависит от числа витков и плотности киральных спиновых особенностей, которые определяют общий топологический заряд ( n _t ) системы ( 7 , 8 ). Для скирмионов типа Нееля в адиабатическом пределе описания фазы Берри ρ _THE пропорционально плотности скирмионов, n _sk = n _t и обратно пропорционально размеру скирмиона, D _sk ~ n _sk ^−1/2 , для плотноупакованного расположения спиновой текстуры ( 2 , 20 , 45 ).Обратите внимание, что плотность скирмионов и, следовательно, THE определяется конкуренцией между DMI, FM-обменом и членами энергии магнитной анизотропии, управляющими магнитной системой. Для наших сверхрешеток LaMnO ₃ / SrIrO ₃ с различной структурой слоев A-узла эффект Холла показан на рис. 3 (A и B). Мы видим, что амплитуда ρ _THE , измеренная при T = 10 K для D13 , составляет ~ 75 мкОм · см, что почти на порядок больше, чем D22 , и в 3 раза больше, чем D12. .Улучшенный THE не зависит от обычных магнитных свойств (например, T _C , H _C или M _S ), что согласуется с тем, что THE напрямую связаны со структурой интерфейса и DMI. Мы отмечаем, что глобальное нарушение симметрии инверсии из-за поверхности и подложки неизбежно, и что другие магнитные взаимодействия, существующие в сверхрешетке (например, диполярные взаимодействия), могут помочь стабилизировать хиральные структуры даже с ослабленным DMI, что может способствовать устойчивому THE даже в наиболее симметричная структура сверхрешетки.По сравнению с естественной сверхрешеткой D12 , мы приписываем подавленное ρ _THE из D22 симметричной структуре интерфейса, создающей ослабленный общий DMI, и мы приписываем большое увеличение ρ _THE в D13 наибольший общий DMI из совершенно разных структур верхнего и нижнего уровня интерфейса.

( A ) Холловское сопротивление после вычитания OHE, измеренного при 10 K для n = 5 u.c. сверхрешетки с интерфейсами типов D22 , D12 и D13 , показанных на рис. 1D. ( B ) Максимальное значение (левая ось) ρ _THE и (правая ось) относительного размера элемента вращения (Δ n _t ^−1/2 ), измеренное при 10 К. ( C ) ) Иллюстрация относительного изменения плотности топологических зарядов ( n _t ), полученная из наблюдаемого изменения ρ _THE , которое демонстрирует миниатюризацию размера спиновой детали (Δ n _t ^{−1). / 2} ) путем настройки межфазных магнитных взаимодействий с использованием сильно инверсионно-асимметричных межфазных структур.

Поскольку усиленный эффект Холла, создаваемый управляемой пленочной архитектурой и интерфейсными структурами нашей системы 3 d -5 d , согласуется с эффектами межфазного DMI, мы рассматриваем взаимосвязь между DMI, THE и вращением в реальном пространстве. текстура. В тонких пленках геометрия интерфейса обязательно задает направление вращения спина, индуцированное DMI, в пользу киральных доменных стенок неелевского типа ( 5 ). По этой причине, хотя у нас нет прямого изображения текстуры кирального спина в LaMnO ₃ / SrIrO ₃ , мы предполагаем, что система LaMnO ₃ / SrIrO ₃ может содержать скирмионы типа Нееля или хиральные доменных стенок, в то время как мы твердо верим, что наше наблюдение THE указывает на возможное образование скирмионов (см. дополнительные материалы для более подробной информации о подтверждении скирмионов).Хотя количественное описание текстур скирмионов непосредственно на основе эффектов Холла остается проблемой для сложных систем с несколькими магнитными слоями, проводящими путями или возможными неадиабатическими эффектами ( 7 , 8 , 18 , 25 , 27 , 46 , 47 ), качественная пропорциональность между величиной THE и n _t выглядит устойчивой ( 7 , 20 , 47 ).Следовательно, увеличение ρ _THE означает более плотный массив хиральных элементов и, следовательно, меньший размер элемента, даже когда абсолютный размер элемента трудно установить. Таким образом, мы проиллюстрировали влияние различных структур межфазного слоя A-site n = 5 u.c. LaMnO ₃ / SrIrO ₃ до возможного относительного изменения плотности хиральных спиновых элементов Δ n _t = ρ _THE / [ρ _THE ( D22 )] и размера элемента (Δ n _t ^−1/2 ) на рис.3 (B и C) ( 7 ) (раздел S2). Это указывает на то, что создание немагнитных межфазных атомных слоев является эффективной стратегией настройки киральных взаимодействий и инверсионной симметрии, чтобы в конечном итоге уменьшить размер киральных спиновых текстур, происходящих из границ раздела. По топологическому сопротивлению Холла мы оцениваем, что размер потенциальных скирмионов может составлять всего 2 нм (более подробную информацию см. В разделе S2).

Чтобы получить более глубокое представление об элементах энергии магнитного взаимодействия, которые управляют образованием магнитных доменов в сверхрешетках LaMnO ₃ / SrIrO ₃ , мы исследовали температурную зависимость спонтанной (т.е.е., нулевое поле) доменной структуры с использованием фотоэмиссионной электронной микроскопии (PEEM) в сочетании с Mn L ₃ -рентгеновский магнитный круговой дихроизм (XMCD). Из-за геометрии скользящего падения входящих рентгеновских лучей, XMCD-PEEM обеспечивает пространственную карту преобладающей проекции намагниченности Mn в плоскости. Изображения n = 5 u.c. сверхрешетки, измеренные при охлаждении от 100 до 32 К, показаны на рис. 4А. Эти изображения показывают плотную доменную структуру, сформированную при температурах около начала T ~ 90 K THE.Сверхрешетка LaMnO ₃ / SrIrO ₃ по существу не показала флуктуаций формы или слияния доменов при понижении температуры; это контрастирует с типичным поведением коллинеарных FM-фаз (см. раздел S4 и рис. S6 для дальнейшего анализа и интерпретации изображений PEEM). Этот результат предполагает высокоэнергетически выгодную доменную структуру, образованную в LaMnO ₃ / SrIrO ₃ , на которую сильно влияет энергетический член, который не типичен для FM-систем, но согласуется с сильным DMI.

( A ) изображений XMCD-PEEM при различных температурах для n = 5 ед. D12 сверхрешетки и ( B ) XAS и ( C ) XMCD, измеренные при 10 К и 5 Тл для Mn и Ir L -ребра для n = 5 ед.

Поскольку XMCD-PEEM позволяет напрямую отображать наноразмерные магнитные элементы, он хорошо подходит для идентификации хиральных доменных стенок и текстур скирмионов ( 16 ).Чтобы изучить влияние DMI на доменную структуру в сверхрешетках LaMnO ₃ / SrIrO ₃ , мы провели микромагнитное моделирование спонтанной доменной структуры простого слоя манганита с межфазным DMI с использованием объектно-ориентированной микромагнитной структуры ( 48 ). Мы обнаружили, что структуры, наблюдаемые с помощью XMCD-PEEM, очень напоминают смешанные полосы и пузырьки, которые могут развиваться в фазу скирмиона в значительном приложенном магнитном поле и которые наблюдаются только тогда, когда член DMI включен в параметры магнитного моделирования (см. S3 и фиг.S5 — S7 для подробного сравнения изображений XMCD-PEEM и микромагнитных симуляций).

Чтобы изучить электронные и магнитные детали конкретных элементов, чтобы понять происхождение магнетизма системы LaMnO ₃ / SrIrO ₃ , мы провели рентгеновскую абсорбционную спектроскопию (XAS) и измерения Mn и Ir с помощью XMCD. L — ребра n = 5 uc LaMnO ₃ / SrIrO ₃ сверхрешетки, как показано на рис. 4 (B и C). Магнетизм происходит в основном из слоя LaMnO ₃ , как показывает большой сигнал Mn XMCD, соответствующий пленкам FM LaMnO ₃ , выращенным с помощью PLD ( 32 ).Мы наблюдали нулевой L ₃ -ребер и слабый L ₂ -реберный сигнал Ir XMCD, что указывает на небольшую намагниченность Ir в n = 5 мкс. LaMnO ₃ / SrIrO ₃ сверхрешетка. Для сравнения, Ir и Mn XMCD короткопериодических SrMnO ₃ / SrIrO ₃ и La _2/3 Sr _1/3 MnO ₃ / SrIrO ₃ показали сверхрешетки с сильными межфазными взаимодействиями. очистите XMCD как на L ₃ — так и на L ₂ -ребнях ( 30 , 33 ), что указывает на гораздо большую намагниченность Ir в этих системах.Отсутствие наблюдаемого L ₃ -края XMCD указывает на изменение специфического для элемента магнетизма с возможным отклонением момента Ir от направления приложенного поля для n = 5 LaMnO ₃ / SrIrO ₃ сверхрешетки по сравнению с ранее изученными FM-системами иридат / манганит. Эти наблюдения согласуются с межфазным взаимодействием Ir-Mn, модифицированным ослабленными коллинеарными межфазными взаимодействиями и сильным DMI в n = 5 u.c. LaMnO ₃ / SrIrO ₃ сверхрешетка в сравнении с преобладанием сильных коллинеарных межфазных обменных взаимодействий в короткопериодических ( n = от 1 до 3 uc) сверхрешетках, что качественно согласуется с зависящим от толщины слоя возникновением THE в LaMnO ₃ / SrIrO ₃ сверхрешеток.

ОБСУЖДЕНИЕ

Поскольку DMI определяется магнитными взаимодействиями в пределах одного атомного слоя интерфейса, предполагается, что локальные интерфейсные структуры будут играть решающую роль в возникновении THE.Чтобы понять механизм, ответственный за THE сверхрешеток LaMnO ₃ / SrIrO ₃ , мы рассмотрим важность межфазной химии и симметрии, которые управляют валентными и обменными взаимодействиями Mn, которые управляют магнетизмом искусственно созданных сверхрешеток манганита ( 36 , 37 ). В частности, из-за утечки заряда, которая эффективна от 1 до 2 uc, короткопериодическая ( n ≤ 3 uc) [(LaMnO ₃ ) _{2 n} / (SrMnO ₃ ) _n ] сверхрешетки демонстрируют ферромагнетизм и проводимость, обусловленные двойным обменом, аналогичные таковым в La _0.66 Sr _0,33 MnO ₃ вместо изолирующего антиферромагнетизма, присущего составляющим материалам. Мы предполагаем, что наличие как межфазных слоев LaO, так и SrO может способствовать смешанной валентности Mn и аналогичной утечке заряда в короткопериодических сверхрешетках LaMnO ₃ / SrIrO ₃ . Это явление может привести к усиленному межфазному двойному обмену FM, который напрямую конкурирует с DMI и, таким образом, приведет к появлению AHE из-за основного состояния FM в нашем n ≤ 3 u.c. LaMnO ₃ / SrIrO ₃ сверхрешетки. Такое поведение согласуется с общепринятым пониманием того, что стабилизация хиральных фаз критически зависит от конкуренции между DMI, коллинеарными FM-взаимодействиями и магнитной анизотропией системы ( 19 , 39 , 40 ). Также вероятно, что отчетливое локальное окружение Mn и магнетизм на границе полярно-неполярной границы, соединенной слоями LaO и SrO, отличаются от однородного окружения LaO-MnO ₂ -LaO в объеме.Эта разница в межфазной и объемной средах, вероятно, способствует сильному влиянию межфазной границы по сравнению с внутренними свойствами в промежуточных системах n , таких как немонотонная n и зависимость THE. Кроме того, наша способность модулировать величину THE для n = 5 u.c. Сверхрешетка показывает, что управление структурой интерфейса, управляемое межфазными слоями A-узла, может быть очень эффективным методом настройки DMI.

Таким образом, симметрия межфазной инверсии сверхрешеток 3 d -5 d LaMnO ₃ / SrIrO ₃ сознательно контролируется, чтобы изменить конкуренцию между хиральным DMI и внутренним коллинеарным ферромагнетизмом.Этот контроль межфазной симметрии привел к большому THE, который происходит из очень устойчивой киральной магнитной фазы, потенциально содержащей скирмионы. Наши результаты проливают свет на разработку новых путей стабилизации хиральных спиновых текстур сверхвысокой плотности, важных для разработки топологически защищенных квантовых магнитов.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Синтез образцов и структурная характеристика

Все образцы были синтезированы методом импульсной лазерной эпитаксии с температурой подложки, парциальным давлением кислорода и флюенсом лазерного излучения 700 ° C, 100 мТорр и 1.0 Дж / см ² соответственно на атомно-плоских подложках TiO ₂ -концевых (001) SrTiO ₃ с помощью эксимерного лазера KrF (λ = 248 нм). Кристаллическая структура, чистота фазы и ориентация этих пленок и сверхрешеток были подтверждены измерениями коэффициента отражения рентгеновских лучей и дифракции с использованием четырехкружного рентгеновского дифрактометра. Сверхрешетки с n = от 1 до 12 u.c. Толстые слои были приготовлены с использованием типичного чередования двух мишеней для выращивания LaMnO ₃ и SrIrO ₃ для получения структуры типа D12 .Для сверхрешеток с n = 5 мкК были созданы две дополнительные структуры сверхрешетки, контролируя рост границы раздела, заменяя либо нижнюю, либо верхнюю 1 мк.к. LaMnO ₃ с SrMnO ₃ ; это привело к структурам D22 или D13 , соответственно.

Визуализация HAADF-STEM выполнялась в Nion UltraSTEM200, работающем при 200 кВ. Микроскоп оснащен холодной автоэмиссионной пушкой и корректором аберраций для субангстремного разрешения.Для визуализации HAADF использовался внутренний угол 78 мрад. Полуугол сходимости электронного зонда был установлен на 30 мрад.

Характеристика физических свойств

Намагниченность была определена с помощью 7 Тл Quantum Design MPMS3, измерена с использованием обычных методов на основе измерений петли гистерезиса при 10 К и до 7 Тл после вычитания линейного фона для корректировки диамагнитного отклика SrTiO ₃ подложка. Измерения электронного переноса проводились с помощью системы измерения физических свойств Quantum Design 14 Т с заказной электроникой.Электрические контакты были выполнены ультразвуковой пайкой Au-проводов с припоем In по схеме Ван-дер-Пау. Магнитотранспортные свойства тонких пленок в сильном магнитном поле до 30 Тл были измерены в Национальной лаборатории сильного магнитного поля (NHMFL) в Таллахасси.

Эксперименты по поглощению рентгеновских лучей

Поглощение рентгеновских лучей, магнитный круговой дихроизм и линейный дихроизм были измерены в усовершенствованном источнике фотонов в Аргоннской национальной лаборатории на каналах 4-ID-C и 4-ID-D.Измерения Mn L _2,3 -края были выполнены в режимах полного выхода электронов и выхода флуоресценции под углом скольжения к поверхности образца. XMCD при 10 К был получен из среднего значения магнитных полей ± 5 Тл, приложенных в плоскости пленки для коррекции возможных немагнитных артефактов. Все спектры были нормированы на максимальную интенсивность XAS на краю L ₃ , чтобы облегчить прямое сравнение между краями Ir и Mn L . Изображения XMCD-PEEM с переменной температурой были измерены в усовершенствованном источнике света в Национальной лаборатории Лоуренса Беркли в секторе 11.0.1 с использованием оконечной станции PEEM-3. Изображения были получены на пленках, выращенных на проводящей подложке SrTiO ₃ , легированной Nb (0,05%), и измерены с помощью Mn L ₃ -края XMCD в нулевом приложенном магнитном поле под углом скольжения 30% к поверхности поверхность пленки, которая обеспечивает преобладающий (86,6%) контраст для намагниченности в плоскости по сравнению с 50% для намагниченности вне плоскости.

ССЫЛКИ И УКАЗАНИЯ

1. ↵
2. ↵
3. ↵
4. ↵
5. ↵
6. ↵
7. ↵
8. ↵
9. ↵
10. ↵
11. ↵
9033
9033
9033
16. ↵
17. ↵
18. ↵
20. ↵
21. ↵
22. ↵
23. ↵
24. ↵
25. ↵
26. ↵
28. 164 9016 9016 9016 9016 9016 9016 9016 9016 9016
29. ↵
30. ↵
31. ↵
32. ↵
33. ↵
34. ↵
35. ↵
36. ↵
37. ↵
38. ↵
39. ↵
40. ↵
M.Дж. Донахью, Д. Г. Портер, Руководство пользователя OOMMF, версия 1.0, межведомственный отчет NISTIR 6376 (Национальный институт стандартов и технологий, Гейтерсбург, Мэриленд, 1999).

49. В. Уолтер, «Взаимодействие между липидными мембранами и самособирающимися пептидами, проникающими в клетки», диссертация, Институт Чарльза Садрона (2017).

Благодарности: Мы благодарим М.Р. Фитцсиммонсу, Т. З. Уорду и Г. Эресу за отзывы о ранней версии этой рукописи. Мы также благодарим Х. Лю, Л. Инь и Дж. Шэнь из Университета Фудань за помощь в проведении экспериментов по магнитно-силовой микроскопии и Л. Дебир-Шмитта из реактора изотопного реактора с высоким потоком в Национальной лаборатории Ок-Ридж за помощь в малоугловом рассеянии нейтронов. эксперименты. Финансирование: Эта работа была поддержана Министерством энергетики США (DOE), Отделом фундаментальных энергетических наук, материаловедения и инженерии.Использование Усовершенствованного источника фотонов и усовершенствованного источника света, которые являются объектами управления науки Министерства энергетики США, поддерживалось Управлением науки Министерства энергетики по контрактам DE-AC02-06Ch21357 и DE-AC02-05Ch21231, соответственно. Измерения эффекта Холла в сильных магнитных полях были выполнены в NHMFL, что поддерживается соглашением о сотрудничестве NSF No. DMR-1644779 и штат Флорида. Вклад авторов: E.S., J.N., and H.N.L. разработал эксперимент и написал рукопись при участии всех авторов.E.S. и Дж. выполнили измерения роста образцов, эффекта Холла и магнитометрии. J.M.O., E.S. и M.B. выполнил измерения сильного магнитного поля в NHFML при поддержке E.S.C. R.V.C. выполнил измерения и анализ XMCD-PEEM в ALS. А. и C.S. оказали помощь в росте образцов и измерениях электронного транспорта. E.S., J.N., C.S. и R.D.D. провели эксперименты по поглощению и анализу жесткого и мягкого рентгеновского излучения при поддержке Y.C., D.H. и J.W.F. на АПС. X.G.и С.Ю. отвечали за измерения и анализ STEM. Т.Ф. и Дж. провели микромагнитное моделирование, С.О. проведено теоретическое моделирование. Конкурирующие интересы: Авторы заявляют, что у них нет конкурирующих интересов. Доступность данных и материалов: Все данные, необходимые для оценки выводов в статье, представлены в документе и / или дополнительных материалах. Дополнительные данные, относящиеся к этой статье, могут быть запрошены у авторов.

• Copyright © 2020 Авторы, некоторые права защищены; эксклюзивный лицензиат Американской ассоциации содействия развитию науки.Нет претензий к оригинальным работам правительства США. Распространяется по некоммерческой лицензии Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY-NC).

Настройка частотной характеристики и зазора для сетей нелинейных электрических осцилляторов

Образец цитирования: Bhat HS, Vaz GJ (2013) Настройка частотной характеристики и зазора для сетей нелинейных электрических осцилляторов. PLoS ONE 8 (11): e78009. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0078009

Редактор: Хесус Гомес-Гарденес, Университет Сарасога, Испания

Поступило: 30 июля 2013 г .; Дата принятия: 10 сентября 2013 г .; Опубликовано: 4 ноября 2013 г.

Авторские права: © 2013 Bhat, Vaz.Это статья в открытом доступе, распространяемая в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии указания автора и источника.

Финансирование: У авторов нет поддержки или финансирования, чтобы сообщить.

Конкурирующие интересы: Авторы заявили, что конкурирующих интересов не существует.

Введение

Сети нелинейных электрических генераторов недавно нашли применение в нескольких аналоговых устройствах СВЧ [1] — [6].Основным элементом этих сетей является нелинейный генератор, подключенный, как показано на рисунке 1; этот генератор состоит из одной катушки индуктивности, одного конденсатора, зависящего от напряжения, одного источника и одного стока (резистора). Хотя многие нелинейные колебательные контуры были изучены на предмет их хаотического поведения, конкретный осциллятор на Рисунке 1 не показывает чувствительной зависимости от начальных условий в режиме работы, который мы рассматриваем. Вместо этого, если предположить, что источник имеет форму, осциллятор достигает установившегося состояния, состоящего из суммы гармоник с основной частотой [7].

Рис. 1. Схема одиночного нелинейного осциллятора.

Этот осциллятор является основным строительным блоком сетей, рассматриваемых в этой статье. Схема содержит одну катушку индуктивности, один конденсатор, зависящий от напряжения, один источник и один резистор.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0078009.g001

Когда были изучены сети этих осцилляторов, топология сети была либо одномерной линейной цепью, и в этом случае схема называется нелинейной. линия передачи [8] — [13] — см. рис. 2 или двумерная прямоугольная решетка [14] — [18] — см. рис. 3.Даже если каждый отдельный блок в цепочке / решетке является слабо нелинейным, вся схема может демонстрировать сильно нелинейное поведение. Именно это свойство используется для микроволновых устройств, позволяя преобразовывать низкочастотные входные сигналы с низким энергопотреблением в высокочастотные выходы с высокой мощностью.

Первой целью данной работы является разработка численных алгоритмов для вычисления частотной характеристики нелинейной электрической сети с топологией, заданной произвольным связным графом.Здесь нас мотивирует успешное применение вычислительных методов при проектировании высокочастотных аналоговых устройств, упомянутых выше. Как мы показываем, для вычисления стационарных решений с сопоставимой точностью как пертурбативный, так и итерационный алгоритмы, разработанные в этой статье, требуют на порядок меньше вычислительного времени, чем стандартное численное интегрирование. Хотя пертурбативный алгоритм обобщает выводы, приведенные в предыдущих работах [7], [18], итерационный алгоритм ранее не применялся к нелинейным электрическим сетям.Оба новых алгоритма демонстрируют экспоненциальную сходимость по количеству итераций, а для тестовой задачи в сети с узлами требуется меньше итераций для достижения ошибок машинной точности.

Вторая цель данной работы — связать структурные свойства сети с динамикой системы нелинейных осцилляторов. Вывод пертурбативного алгоритма указывает на то, что нелинейность в электрической сети проявляется в передаче энергии от основной частоты вынуждающего сигнала к высшим гармоникам.Это помогает нам понять, почему такие свойства, как усиление амплитуды [7], [18] и преобразование частоты [1], наблюдаемые в нелинейных электрических сетях с топологиями регулярной решетки, можно ожидать, когда топология является топологией случайной, неупорядоченной сети. Кроме того, мы наблюдаем, что матрица лапласиана, взвешенная по индуктивности, занимает важное место в обоих алгоритмах вычисления стационарного решения. Эта матрица Лапласа графа кодирует структуру сети, а ее собственные значения являются квадратами резонансных частот для незатухающей линейной версии схемы.Включение демпфированной линеаризованной схемы в один из этих резонансов приводит к выходу большой амплитуды. Разумно предположить, что расположение этих резонансов играет большую роль в динамике нелинейной сети.

Это вызывает следующий вопрос: как собственные значения лапласиана графа влияют на свойства нелинейной сети, связанные с повышением частоты и повышением амплитуды? Хотя можно изменить спектр лапласиана графа, изменив отношения узел-ребро в графе, мы также можем изменить его спектр, сохраняя фиксированную топологию и манипулируя индуктивностями сети.Сформулируем и решим обратную задачу нахождения таких индуктивностей, чтобы лапласиан графа достигал заданного спектра. Решение выполняется с помощью алгоритма типа Ньютона, который принимает желаемый спектр в качестве входных данных и итеративно изменяет индуктивности до тех пор, пока не будет выполнен критерий сходимости.

Для трех типов случайных графов мы обнаруживаем, что метод типа Ньютона эффективно находит индуктивности цепи, которые закрывают промежуток между первыми двумя собственными значениями лапласиана графа. Мы проводим серию численных экспериментов, чтобы изучить влияние закрытия этого промежутка между собственными значениями на способность данной схемы (i) передавать энергию от основной частоты возбуждения к высшим гармоникам и (ii) генерировать выходные сигналы с большой амплитудой.Результаты показывают, что две метрики (i-ii) можно значительно улучшить, сократив разрыв между первыми двумя собственными значениями лапласиана графа. В таблице 1 показаны результаты, полученные нами для графов с узлами. Хотя это небольшая часть результатов, которые мы опишем позже, эта таблица уже иллюстрирует влияние настройки пропусков на производительность сети. Обратите внимание, что каждая схема до и после имеет одинаковую топологию графа, различающуюся только их индуктивностями на краях.

Обратите внимание, что мы сделали доступными реализации Python с открытым исходным кодом для всех алгоритмов, описанных в этой работе.Код Python вместе с кодом R, используемым для построения графиков, размещен в общедоступном репозитории. Это позволяет читателю воспроизвести все результаты данной статьи. Инструкции по загрузке этого кода приведены ниже.

Подключения к другим системам

Мы можем установить несколько связей между проблемой, изучаемой в этой статье, и другими интересующими проблемами:

• Случайные упругие сети. Используя механическую аналогию между индукторами и масс-пружинами, нелинейная электронная сеть может быть преобразована в математически эквивалентную сеть масс и ангармонических пружин [19, Приложение I].Такие случайные упругие сети в последнее время вызывают интерес как модели аморфных твердых тел [20] — [22]. Для таких сетей учитывались потенциальные энергии пружин четвертой степени [23]. Нелинейные случайные упругие сети также использовались для моделирования молекулярных машин; в этом контексте настройка разрыва между первыми двумя собственными значениями линеаризованной системы позволяет создавать сети со свойствами, аналогичными свойствам реальных белков [24]. Несмотря на эту деятельность, алгоритмы для вычисления и управления частотной характеристикой нелинейных упругих сетей не были разработаны.Наша работа напрямую занимается этим вопросом.
• Нелинейные электромагнитные среды. Схема, которую мы анализируем для конкретных значений параметров схемы, естественным образом возникает как дискретизация конечного объема уравнений Максвелла для мод TE / TM в нелинейной среде [25], [26]. Произвольная топология связного графа схемы соответствует дискретизации конечного объема на произвольной неструктурированной сетке. Разработанные здесь алгоритмы можно использовать для расчета и оптимизации частотной характеристики нелинейных электромагнитных сред.
• Сети генераторов со связанными фазами. Существует большой интерес к сетям нелинейных фазовых генераторов, в первую очередь из-за способности таких сетей моделировать биофизические системы с синхронизацией. Хотя синхронизация не является основным интересом в нашей системе, мы все же можем проводить параллели. Влияние топологии сети на свойства связанных фазовых генераторов широко изучалось [27] — [30]. Манипулирование собственными значениями матрицы Лапласа позволяет улучшить свойства синхронизации сети [31].Совсем недавно несколько авторов разработали алгоритмы для оптимизации синхронизации цепей фазовых генераторов [32] — [37]. Вопросы, рассматриваемые в этой подгруппе литературы по генераторам связанных фаз, связаны с проблемами, рассматриваемыми в настоящей работе.

Методы

Постановка проблемы

Позвольте быть связным, простой граф с узлами и ребрами. Каждое ребро соответствует катушке индуктивности, которая физически соединяет два узла. Каждый узел соответствует конденсатору и резистору, подключенным параллельно, которые физически подключают узел к общей земле.Позвольте быть количеством узлов, которые управляются предписанными источниками. Поскольку напряжение на заданном источнике известно, мы не моделируем его с помощью узла. Связь между источником и узлом, которым он управляет, моделируется полуребром, также известным как висячий край, поскольку один конец подключен к ведомому узлу, а другой конец не соединяется ни с одним узлом. Обозначим граф вместе с полуребрами.

Емкость и проводимость (обратное сопротивление) в узле равны и соответственно.Мы позволяем обозначать напряжение от узла до земли в момент времени. Индуктивность края равна, а ток через край во время равен. Точные размеры каждого компонента, а также токи и напряжения приведены в таблице 2.

Чтобы записать законы Кирхгофа, мы должны выбрать ориентацию ребер. Ориентация кромки определяет направление положительного тока, протекающего через кромку. Если мы решим проблему с противоположными ориентациями, единственная разница, которую мы заметим, состоит в том, что токи увеличиваются в раз.Следовательно, выбранная нами ориентация никак не влияет на решение. В дальнейшем мы будем выбирать случайную ориентацию ребер.

На рисунке 4 показан пример графика, соответствующего. Края ориентированы случайным образом. Входы подключаются в узлах и через две катушки индуктивности. Эти входные узлы соответствуют полуребрам в. Справа мы подробно рассматриваем узел. Каждое из двух ребер, подключенных к этому узлу, соответствует катушке индуктивности. Конденсатор с емкостью и резистор с проводимостью соединяют узел с землей.

Рисунок 4. Пример нелинейной электрической сети.

На графике слева пронумерованные кружки — это узлы, сплошные стрелки — это ребра, а пунктирные стрелки — это полуребра. Ориентация стрелок указывает направление положительного тока. Каждый узел соответствует зависимому от напряжения конденсатору на землю, подключенному параллельно резистору к земле, как показано на увеличенной схеме узла. Каждое ребро соответствует катушке индуктивности. Каждая половина кромки соединяет один заданный источник напряжения с одним заданным узлом.В этой статье все разработанные методы применимы для связных графов хотя бы с одним полуребром. Обратите внимание, что все схемы на рисунках 1–3 могут быть представлены с использованием этого формализма графов.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0078009.g004

Чтобы упорядочить законы Кирхгофа компактно, мы используем матрицу инцидентности, обозначенную как. Позвольте быть ребро, соединяющее узлы и. Если ориентирован так, что положительный ток начинается в узле и течет к узлу, мы пишем.Если к узлу присоединено половинное ребро, мы пишем, оставляя первый слот пустым и ориентируя половинное ребро так, чтобы оно всегда указывало на принудительный узел. Элементы матрицы инцидентности —

В этой статье будет рассматриваться только одночастотное гармоническое воздействие по времени в форме где. Позвольте быть матрицей с элементами, если узел соединен с входным ребром, и в противном случае. Используя матрицу проекций, определяем форсирование (1)

Используя обозначения, приведенные в таблице 2, законы Кирхгофа для нелинейной схемы на графе теперь можно компактно записать как (2) (3)

Здесь, и примеры покомпонентного умножения векторов.For мы определяем с помощью for. Обратите внимание, что в этом случае мы также можем написать. Вот матрица, которая содержит вектор по диагонали () и равна нулю в другом месте.

Формулировка (2–3) обобщает предыдущие формулировки [25], [38], в которых конденсаторы были постоянными, а рассматриваемые системы были линейными.

Продифференцируя (3) и вставив его в (2), мы получим систему второго порядка для напряжений: (4)

Здесь (5) (6)

Обратите внимание, что это взвешенный лапласиан для сети с весами на краях, заданными обратной индуктивностью.

Мы предполагаем, что емкость в узле зависит от напряжения в узле: (7) где — постоянная величина. Обратите внимание, что такой выбор функции емкости означает, что (4) обладает квадратичной нелинейностью.

Затем мы можем сформулировать задачу частотной характеристики для нелинейной электрической сети: учитывая вектор амплитуды и частоту для вынуждающей функции (1), определить стационарное решение (4).

Пертурбативный алгоритм

Сначала мы решаем проблему частотной характеристики, используя пертурбативное разложение по степеням.Мы используем точки для обозначения дифференцирования по времени. Подставляя емкостную функцию (7) в (4) и переставляя, получаем (8)

Расширяем (9)

Подставляя (9) в (8), получаем уравнения для каждого порядка. При нулевом порядке получаем (10)

Для уравнение -го порядка (11)

Теперь решаем (10–11). Введем преобразование Фурье по времени (12) с обратным преобразованием Фурье

(13) Обратите внимание, что с этими определениями

Это означает, что преобразования Фурье обеих частей (10–11) можно резюмировать, записав (14) где — линейный оператор (15) и

(16) Из (5) и (1) мы видим, что (17) где — дельта Дирака.Тогда ветвь (14) дает

(18a) (18b) (18c)

Используя обратное преобразование Фурье, мы имеем где «c.c.» обозначает комплексное сопряжение предыдущих членов. Здесь мы использовали свойство that.

После того, как мы вычислили, мы можем вставить его в (16) для вычисления. Мы обнаружим, что это линейная комбинация, и. Используя этот факт в ветви (14), мы можем решить, а затем применить обратное преобразование Фурье для вычисления. Мы обнаружим, что он содержит те же режимы, что и.

Выше показано, как мы запускаем алгоритм пертурбативного решения. Теперь перейдем к более общему случаю, когда мы ищем любое. Предположим, что мы уже вычислили для, и что решение принимает следующий вид: (19a) (19b)

Словом, содержит нечетные режимы и содержит четные режимы. Здесь мы предполагаем, что, и что коэффициенты известны.

Чтобы найти, мы используем ветвь (14), которая требует от нас вычисления (16). У нас есть два случая, когда нечетное и когда четное.В обоих случаях это простое (хотя и утомительное) алгебраическое упражнение показать, что дает:

• , когда нечетное, сумма четных мод Фурье и
• , когда четно, сумма нечетных мод Фурье.

В обоих случаях очевидно, что использование (14) для нахождения результатов в сумме дельты Дирака. Применение обратного преобразования Фурье дает результат, который будет суммой мод Фурье. Можно проверить, что будет иметь вид (19a) или (19b) в зависимости от того, четное или нечетное, соответственно.

Тогда алгоритм понятен. Начиная с (19), мы применяем покомпонентное умножение к конкретным парам векторов, чтобы вычислить коэффициенты мод Фурье, определенных в (16). Затем мы объединяем шаг решения для использования ветви (14) с шагом вычисления обратного преобразования Фурье. После покомпонентного умножения коэффициентов Фурье на, мы умножаем каждый коэффициент слева на, чтобы соответствовать частоте соответствующей моды Фурье.Деление этих коэффициентов на дает коэффициенты Фурье, если требуется.

Хотя мы представили алгоритм интуитивно понятным образом, сделанные выше утверждения можно сделать строгими и установить теорию сходимости пертурбативного разложения (9). Это предмет текущей работы.

Сделаем несколько кратких замечаний по поводу алгоритма, представленного выше:

• Как описано выше, мы рассматриваем только те сети, которые содержат сопротивление во всех узлах, т.е.е., для всех узлов. Такое предположение не только физически реалистично; это также гарантирует, что для всех матрица обратима. Обратимость для этого случая является следствием следствия 1, доказываемого ниже.
• В данной работе нас интересует слабонелинейный режим, в котором достаточно мало, так что пертурбативный метод сходится. По мере того как безразмерная постоянная увеличивается до точки отказа пертурбативного метода, прямые численные решения уравнений движения обнаруживают субгармонические колебания и, в конечном итоге, хаотические колебания.
• Тот факт, что преобразование Фурье дает стационарное решение, был объяснен в нашей более ранней работе [7]. Зафиксировав произвольный набор начальных условий и используя преобразование Лапласа для получения полного решения, можно показать, что после затухания переходных процессов остающаяся часть решения — это именно то, что мы получаем с помощью преобразования Фурье. Это также объясняет, почему нам не нужно было указывать начальные условия для (4) в нашем приведенном выше выводе — начальные условия влияют только на затухающую переходную часть решения.

Итерационный алгоритм

Метод возмущений, разработанный выше, показывает нам, что решение представляет собой сумму гармоник, где основная частота задается входной частотой. Это означает, что стационарное решение является периодическим с периодом. Это наблюдение заставляет нас задаться вопросом, возможно ли непосредственно найти коэффициенты Фурье для без предварительного разложения по степеням. В этом разделе мы разрабатываем схему итераций с фиксированной точкой, которая решает эту задачу.

Сначала мы интегрируем обе части (8) от до, чтобы получить (20)

Ниже показано, что, пока сеть содержит хотя бы одно полуребро, она обратима. Отсюда (20) влечет (21)

Это означает, что режим нуля / постоянного тока отсутствует, что мотивирует разложение в ряд Фурье (22)

Чтобы вычислить решение, мы усекаем, что приводит к приближению: (23)

Используя ортогональность, получаем

Используя -периодичность и интегрирование по частям, получаем

Для упрощения обозначений объединим (1) и (5) и запишем где (24)

Обозначим теперь дельта-функцию Кронекера, равную если и в противном случае.Умножим обе части (8) на, проинтегрируем от до и, наконец, разделим на, чтобы получить (25), где было определено в (15) и

(26) Поскольку форма нелинейности проста, мы можем вставить (23) в (26) и вывести (27), понимая, что, для и для. Подставляем (27) в (25) и получаем

Мы естественным образом преобразуем это в итеративную схему. Позвольте обозначить -ю итерацию и предположить, что члены, появляющиеся в левой части, находятся на итерации, а те, которые появляются в правой части, — на итерации.Обозначим через комплексную матрицу -й столбец. Тогда схема имеет вид (28) где -й столбец матрицы равен

(29) Здесь мы предполагаем, именно поэтому мы удалили вторую дельту Кронекера из правой части.

Начиная с, мы выполняем итерацию вперед, используя (28), останавливая вычисление, когда значение ниже заданного допуска. Обратите внимание, что в нашей реализации мы предварительно вычисляем и сохраняем факторизацию LU для матриц, поскольку эта часть вычисления правой части (29) не меняется от одной итерации к другой.

Опять же, мы вывели алгоритм, но не доказали его сходимость. Вместо этого мы эмпирически продемонстрируем, что алгоритм сходится, используя несколько численных тестов.

Обратная задача

В этом разделе мы рассмотрим обратную задачу поиска набора индуктивностей, при котором лапласиан, определенный формулой (6), достигает желаемого спектра. Перед описанием алгоритма решения этой обратной задачи рассмотрим основные спектральные свойства.

Лемма 1. Предположим, что все индуктивности положительны. Тогда, как определено в (6), является симметричным положительно полуопределенным, и все его собственные значения должны быть неотрицательными.

Доказательство. Позвольте быть диагональной матрицы, -й элемент на диагонали, для. Так как матрица действительна. Тогда и для любого имеем =.

Позвольте обозначить спектр, с собственными значениями, расположенными в неубывающем порядке:. Приведенный выше аргумент показывает это. Мы можем уточнить это: если нет полуребра, значит, пока наличие хотя бы одного полуребра является причиной.

Лемма 2. Позвольте быть связным графом с узлами, ребрами и нулевыми полуребрами. Для конкретной ориентации графа пусть обозначает матрицу инцидентности со знаком. Потом .

Доказательство. Позвольте быть любое целое число от до. Рассмотрим любое подмножество вершин графа. Возьмите сумму строк матрицы инцидентности, соответствующих элементам. Эта сумма не может быть нулевой; если бы это было так, не было бы пути, соединяющего дополнение, и результирующий граф не был бы связан.Следовательно, сумма этих строк должна содержать ненулевую запись. Поскольку то же самое было бы верно, если бы мы рассматривали линейные комбинации строк, соответствующих, мы заключаем, что любое подмножество не более чем строк должно быть линейно независимым. В то же время, если мы возьмем сумму всех строк, мы получим нулевую строку, потому что каждый столбец содержит ровно один и один.

Лемма 3. Позвольте быть связным графом с узлами, ребрами и полуребрами. Для конкретной ориентации графа пусть обозначает матрицу инцидентности со знаком.Потом .

Доказательство. Без ограничения общности, мы можем предположить, что матрица инцидентности организована так, что первые столбцы соответствуют полным ребрам, а столбцы соответствуют полуребрам. Теперь выберите любую такую, и изучите колонку. Позвольте быть уникальной строкой, в которой содержится этот столбец. Так как row of является единственной строкой, содержащей запись в столбце, row линейно независима от других строк. По лемме 2 подматрица, состоящая из всех строк, кроме строки, имеет ранг.Включение строки увеличивает ранг на единицу, давая матрицу рангов.

Лемма 4. Для связного графа с узлами, ребрами и полуребрами, пусть будет взвешенный по ребрам лапласиан графа, определенный в (6). Предположим, что все индуктивности положительны. Потом .

Доказательство. Диагональная матрица имеет ранг. Позвольте быть знаковой матрицы инцидентности для конкретной ориентации. По лемме 3«, откуда следует, откуда.

Следствие 1. Пусть, и индуктивности удовлетворяют условиям леммы 4.Тогда является симметричным положительно определенным и все собственные значения положительны, т.е.

Доказательство. Объедините леммы 1 и 4.

Теперь мы опишем алгоритм, который количественно определяет, как мы должны изменить вектор индуктивностей, чтобы получить желаемый набор собственных значений. В дальнейшем предполагается, что мы работаем с системой, удовлетворяющей условиям следствия 1.

Для обозначим вектор желаемых собственных значений, удовлетворяющих

Мы рассматриваем вектор индуктивностей как переменную, и пусть обозначает отсортированный вектор собственных значений лапласиана графа, определенного в (6).Поскольку он симметричен, он обладает ортонормированным базисом собственных векторов. Мы предполагаем, что это нормированный собственный вектор, соответствующий.

Пусть теперь функция (30)

Теперь применим вариант метода Ньютона, чтобы найти нуль этой функции. Чтобы использовать метод Ньютона, нам нужно вычислить якобиан. Пусть штрихи обозначают дифференцирование по. Чтобы сформировать якобиан, нам нужно найти

Мы исходим из неявного дифференцирования, исходя из уравнения собственного вектора

Дифференцируя обе части по и, опуская зависимость от, получаем (31)

Поскольку симметрична, (32)

Умножая (34) слева на и используя (35) вместе с, получаем (33) где

Используя мы можем вычислить элементы матрицы Якоби, и соответствующий метод Ньютона с псевдообратным преобразованием принимает вид (34) где обозначает псевдообратную матрицу Мура-Пенроуза.

Использование (34), как показано, может привести к появлению таких индуктивностей, что отношение наибольшей индуктивности к наименьшей будет слишком большим. Чтобы избежать этих больших отклонений, мы ограничиваемся. Мы включаем эти ограничения, используя подход активного набора, заменяя их функцией, где обозначает номер итерации и обозначает количество ограничений, которые нарушаются. Обозначим функции (35)

Для каждого ограничения, нарушенного снизу, мы устанавливаем. Для каждого ограничения, нарушенного сверху, мы устанавливаем.Поскольку функции непрерывно дифференцируемы, легко вычислить якобиан, а затем применить алгоритм (36)

Алгоритм (36) может использоваться для изменения всех собственных значений системы, если и. В качестве альтернативы можно установить и запросить изменение только двух наименьших собственных значений на и, соответственно.

В следующем разделе мы покажем, что изменения самого низкого собственного значения достаточно, чтобы вызвать более высокую передачу энергии в более высокие моды. Чтобы показать, мы будем использовать (39), чтобы перейти к некоторому желаемому значению, сохраняя постоянное значение.Мы отмечаем, что, поскольку мы не ограничиваем, они могут измениться в результате изменения, но будут поддерживаться.

Для всех приложений этого алгоритма обратной задачи, описанного в следующем разделе, мы используем (36) с начальными условиями и параметром нарушения ограничения.

Настройка зазора: методология

Как изменяется установившееся напряжение в нелинейной цепи в зависимости от зазора между первыми двумя собственными значениями лапласиана графа? В этом разделе мы решаем этот вопрос, комбинируя пертурбативные / итерационные алгоритмы с алгоритмом обратной задачи.Мы описываем численные эксперименты, предназначенные для проверки влияния закрытия первого промежутка между собственными значениями лапласиана графа на способность схемы (а) передавать больше энергии высшим гармоникам и (б) генерировать выходные сигналы с более высокой амплитудой.

Мы проводим численные эксперименты на трех типах случайных графов, все сгенерированных с помощью пакета NetworkX [39]:

• Barabási-Albert (BA), предпочтительная модель присоединения с одним параметром, количество ребер, которые нужно провести между каждым новым узлом и существующими узлами [40].Мы устанавливаем в наших экспериментах.
• Watts-Strogatz (WS), модель маленького мира с двумя параметрами, количество ближайших соседних узлов, к которым каждый узел изначально подключен, и вероятность переподключения каждого ребра [41]. В наших экспериментах мы устанавливали и.
• Erdös-Rényi (ER), классическая модель, в которой края нарисованы независимо с равномерной вероятностью [42]. В наших экспериментах мы установили.

Когда мы производим реализации любого из этих графов, мы принимаем только те графы, которые связаны.Предположим, мы использовали одну из этих трех моделей для создания связного случайного графа с узлами. Чтобы сделать эту задачу конкретной схемы, мы устанавливаем для всех узлов и для всех ребер. Фиксируем параметр нелинейности. Мы выбираем узлы равномерно наугад и прикрепляем к ним полуребра с индуктивностью. Для каждого узла мы устанавливаем проводимость для графов BA и WS, а также для графов ER. Этот выбор будет более подробно объяснен ниже.

Установив эти параметры, у нас будет достаточно информации для вычисления лапласиана графа, определенного формулой (6).Как и раньше, пусть обозначает собственные значения сортировки в порядке возрастания. Устанавливаем частоту нагнетания. Поскольку это значение является резонансной частотой линейной незатухающей системы, мы ожидаем, что оно близко к резонансу для нелинейной системы с затуханием. Тип принуждения, который мы рассматриваем, является частным случаем (1) с.

С этой установкой мы используем как пертурбативный, так и итерационный метод для вычисления стационарного решения. Для пертурбативного метода мы решаем по порядку, а для итерационного метода мы решаем с использованием режимов.Это означает, что итерационная схема захватывает десять мод — сквозных — которые не улавливаются пертурбативной схемой. Мы сравниваем два решения, чтобы проверить, достаточно ли количества рассмотренных нами режимов. Во всех тестах мы обнаружили, что нет существенной разницы между решениями, подразумевая, что первой гармоники — сквозной — достаточно для разрешения решения.

Т.к., емкостная модель (7) справедлива только для. Для всех вычисленных решений мы проверяем, что максимальное напряжение на всех узлах за один цикл удовлетворяет этому ограничению.

В нашем моделировании интерес представляет количество энергии в высших гармониках. Пусть будет комплексная матрица такая, что -й столбец содержит коэффициенты Фурье моды по всем узлам. Здесь идет от до максимального режима, в котором вычисляется решение. Затем мы определяем (37) долю энергии в режимах и выше, усредненную по всем узлам. Мы также вычисляем (38) максимальное значение напряжения, производимое в любом месте цепи в течение одного периода. Для обоих и нижний индекс «pre» означает, что эти величины были вычислены до того, как мы изменим, чтобы манипулировать собственными значениями.

После вычислений мы теперь изучаем, как эта доля изменяется, когда мы уменьшаем разрыв между первыми двумя собственными значениями. Для фиксированного мы устанавливаем и, а затем применяем алгоритм обратной задачи.

Используя (36), мы решаем вектор индуктивностей так, чтобы первые два собственных значения были заданы как и. Когда мы выполняем итерацию вперед с использованием (36), если мы обнаруживаем, что после 200 итераций, мы генерируем новый случайный граф и перезапускаем эксперимент.

Мы повторно вычисляем лапласиан графа, используя новые векторные индуктивности, и снова применяем пертурбативный и итерационный алгоритмы для нахождения стационарного решения.Используя это решение, мы вычисляем энергию высших гармоник, используя правую часть (37), теперь обозначив эту среднюю долю как. Мы также вычисляем правую часть (38) и обозначаем эту величину как.

Давайте теперь опишем, как мы выбираем конкретные значения проводимости и доли собственных значений. В таблице 3 мы заносим в таблицу промежуток между вторым и первым собственным значением для каждого из трех типов случайных графов, описанных выше. Представленные нами пробелы в собственных значениях усреднены по моделированию для каждого из четырех размеров графа:.

Мы видим, что промежутки между собственными значениями для графиков BA и WS существенно не меняются в зависимости от, в то время как для графиков ER промежутки быстро растут как функция. При выборе мы руководствуемся этими результатами. Для графиков BA и WS выбираем. Для графиков ER мы выбираем.

Когда мы решаем стационарные напряжения на этих трех типах графиков, мы также замечаем разницу. Для графиков ER максимальное напряжение быстро растет как функция, в то время как для графиков BA и WS такого же явления не происходит.Чтобы противодействовать значительному росту максимальных напряжений для графов больших размеров, мы установили проводимость на большее значение для графиков ER, в результате чего больше энергии рассеивается через резисторы. Для графиков BA и WS мы устанавливаем значение.

Результаты и обсуждение

Сравнение стационарных алгоритмов

В этом разделе мы сравниваем стационарные решения, вычисленные путем численного интегрирования, с решениями, вычисленными с использованием пертурбативных и итерационных методов, полученных ранее.

Для тестов, описанных в этом разделе, домен представляет собой квадратную решетку с узлами. Узлы вдоль левой и нижней границ решетки управляются входным форсированием. Предоставленный ввод с. Для емкостной модели (7) положим и. Для каждого ребра ставим. Проводимость установлена ​​во всех точках, кроме правого верхнего угла, где она установлена.

Чтобы сравнить результаты пертурбативного и итерационного методов с численным интегратором, нам потребуется получить стационарное решение, используя численный интегратор.Для этого мы начинаем и численно интегрируем систему первого порядка (2–3) вперед по времени для циклов. Решатель ODE использует метод Дорманда-Принса ( dopri5 ) с относительными и абсолютными допусками, равными и, соответственно. Для параметров, указанных выше, этого количества циклов достаточно, чтобы от одного цикла к другому изменение решения было порядка относительного допуска числового интегратора. Следовательно, мы принимаем решение последнего цикла за стационарное решение.

В качестве предварительной проверки мы напрямую сравниваем три стационарных решения. Мы рассматриваем решение, полученное путем численного интегрирования по времени, как эталонное решение. Пусть обозначает либо пертурбативное, либо итерационное решение после итераций — для пертурбативного метода количество итераций определяется как наибольший номер моды, присутствующий в решении. Позвольте быть периодом стационарного решения, и для целого числа, рассмотрим равномерную дискретизацию интервала, заданного.Для каждой итерации мы оцениваем как пертурбативное / итеративное, так и эталонное решение на этой равномерно распределенной сетке с точками, и вычисляем ошибку (39)

На рисунке 5 мы построили график в зависимости от итерации. Хотя оба метода изначально ориентированы на эталонное решение, из рисунка 5 видно, что ошибка не снижается. В следующих подразделах мы приводим доказательства того, что эталонное решение менее точное, чем решения, вычисленные с использованием пертурбативных / итерационных методов.Это объясняет, почему ошибка на рисунке 5 не обращается в нуль, т.е. почему пертурбативные / итерационные методы не сходятся к решению, полученному интегрированием по времени.

Рисунок 5. Ошибка между пертурбативными / итеративными решениями и эталонным решением.

Эталонное решение было вычислено путем численного интегрирования по времени. Мы строим логарифм ошибки как функцию количества итераций. Как показано на рисунках 6 и 7 вместе с таблицами 4 и 5, пертурбативные / итерационные решения более точны, чем эталонное решение.Это объясняет, почему в приведенном выше участок, пертурбативное и итерационные методы решение не сходится к опорному решению.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0078009.g005

Наши первые тесты касаются коэффициентов Фурье вычисленных решений. В дальнейшем мы будем использовать для обозначения вектора коэффициентов ряда Фурье, связанного с установившимся решением, вычисленным с использованием любого из трех методов, описанных выше.

Ошибка фиксированной точки.

Предположим, что это точное периодическое стационарное решение (4).Если бы мы разложили это решение в ряд Фурье, как в (22), результирующий (бесконечный) вектор коэффициентов удовлетворял бы для всех, как в (29).

Как в пертурбативном, так и в итеративном методах мы ищем конечномодовое усечение точного решения. Для итерационного метода мы фиксируем так, чтобы самая высокая мода имела частоту. В пертурбативном методе мы решаем, мы решаем по порядку, что означает, что самая высокая мода в решении имеет частоту.

Объединив идеи двух последних абзацев, естественно использовать (40) в качестве метрики ошибки для -режимного усечения точного решения.В таблице 4 мы записываем (40) для решений, вычисленных с использованием пертурбативных, итерационных методов и методов численного интегрирования. Обратите внимание, что итерационный и пертурбативный методы напрямую предоставляют нам коэффициенты Фурье, необходимые для этого расчета. Мы вычисляем коэффициенты Фурье решения численного интегратора с помощью БПФ. Таблица 4 показывает, что пертурбативные и итерационные решения примерно на пять порядков ближе к фиксированным точкам, чем решение, полученное путем численного интегрирования.

Для пертурбативного и итерационного методов давайте рассмотрим, как ошибка фиксированной точки (40) уменьшается в зависимости от количества итераций. На рисунке 6 мы построили график в зависимости от номера итерации. Вот вектор коэффициентов Фурье для решения, вычисленный только после итераций. График показывает, что как для пертурбативного, так и для итерационного методов требуются приблизительно итерации, чтобы согласовать ошибку фиксированной точки решения, вычисленного с использованием интегрирования по времени. Ошибка этого последнего решения, взятого из таблицы 4, представлена ​​на рисунке 6 горизонтальной черной линией.

Рисунок 6 также показывает, что пертурбативный и итерационный методы сходятся экспоненциально по количеству итераций. От итерации до итерации подгонка линий наилучшего соответствия к пертурбативным и итерационным кривым ошибок приводит к наклонам и, соответственно. Для обоих методов это можно приблизительно записать. После итераций ошибка приблизилась к машинной эпсилон, и обе кривые выравниваются до достижения окончательных значений, показанных в таблице 4.

Скорость распада.

Предположим, мы записываем систему первого порядка (2–3) в форме, с. Тогда на открытом множестве векторное поле непрерывно дифференцируемо раз для любого целого числа. Из стандартной теоремы существования / единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что везде, где существует решение, оно также должно быть в.

Приведенное выше наблюдение позволяет нам проверить убывание коэффициентов Фурье всех трех решений. Поскольку, если стационарное решение находится в состоянии, то коэффициенты ряда Фурье должны удовлетворять следующему свойству затухания: (41)

Чтобы изучить спад коэффициентов Фурье для трех вычисленных решений, мы построим график зависимости от рисунка 7.Для пертурбативного и итерационного решений кривые на графике совпадают и почти линейны с наклоном. Это означает, что, что достаточно для удовлетворения теоретической скорости распада (41).

Рисунок 7. Затухание коэффициентов Фурье.

Мы построим график в зависимости от, чтобы проиллюстрировать убывание коэффициентов Фурье для трех методов. Итерационная и пертурбативная кривые совпадают и почти линейны с наклоном; экспоненциальное убывание этих коэффициентов Фурье согласуется с теорией.Коэффициенты Фурье временного интегратора не затухают после режима, нарушая теоретическую скорость затухания.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0078009.g007

С другой стороны, коэффициенты Фурье, полученные из решения численного интегратора, вообще не затухают за пределами режима. Это нарушает теоретическую скорость распада (41) даже при.

Энергосбережение.

Затем мы проверяем свойства сохранения энергии трех вычисленных решений.Приступим к выводу уравнения баланса энергии. Поскольку наши конденсаторы зависят от напряжения, заряд и напряжение связаны через, что подразумевает

Используя это в (3) вместе с (2), получаем (42)

Позвольте быть полной энергии, хранящейся в магнитных полях всех индукторов в момент времени. Затем первое слагаемое в левой части (42). Позвольте быть полной энергией, запасенной в электрических полях всех конденсаторов в момент времени. Тогда

— второе слагаемое в левой части (42).Отсюда (42) читаем:

(43) Если система достигла -периодического устойчивого состояния, то все будут -периодическими. Поэтому, интегрируя (43) в от до, находим, что левая часть равна нулю. Оставшиеся члены дают следующее уравнение баланса энергии: (44)

Левая часть — это энергия, накачиваемая в систему за один цикл, а правая часть — это энергия, рассеиваемая через резисторы, снова за один цикл.

Таблица 5 показывает абсолютную разницу между левой и правой частями (44), вычисленную для каждого из трех методов.Мы обнаружили, что для пертурбативного и итерационного методов ошибки баланса энергии ниже машинного эпсилон. Численный интегратор дает ошибку примерно на пять порядков больше, чем у двух других методов.

Вычислительное время.

Результаты, представленные на данный момент, показывают, что независимо от того, измеряем ли мы ошибку, используя ошибку фиксированной точки (40) или нарушение баланса энергии (44), решение, полученное посредством численного интегрирования, имеет ошибки, которые примерно на пять порядков больше, чем ошибка. пертурбативных / итерационных методов.Фактические значения ошибок, допущенных числовым интегратором в таблицах 4 и 5, а также окончательные значения ошибок для кривых на рисунке 5, близки к относительным и абсолютным допускам численного интегрирования и соответственно. Мы предполагаем, что, если бы время вычислений не было проблемой, мы могли бы запустить числовой интегратор с меньшими допусками и получить стационарные решения, которые в тех же метриках ошибок, описанных выше, более точно соответствуют пертурбативным и итерационным решениям.

Как мы сейчас перейдем к показу, вычислительное время является основной проблемой для метода интегрирования времени. В таблице 6 мы записываем время, необходимое для вычисления стационарных решений с использованием трех методов. Из столбца «Время I» видно, что для достижения ошибки в таблице 4 числовому интегратору требуется более секунд. Из рисунка 6 мы знаем, что пертурбативные / итерационные методы требуют итераций для достижения примерно той же ошибки, что и интегратор времени; остальные записи в столбце Time I показывают, что как пертурбативный, так и итерационный алгоритмы вычисляют такое решение в сотни раз быстрее, чем интегратор времени.

В столбце «Время II» в таблице 6 указано, сколько времени требуется пертурбативным / итерационным алгоритмам для достижения ошибок, записанных в таблице 4. Обратите внимание, что даже если мы запустим пертурбативные / итерационные алгоритмы полностью до полной сходимости, они будут намного быстрее, чем временная интеграция. В этом случае интегратор времени (соответственно) раз медленнее, чем итерационный (соответственно пертурбативный) алгоритм.

Обратите внимание, что пертурбативный и итерационный алгоритмы были реализованы на Python с использованием пакетов Numpy / Scipy.Реализация dopri5 , используемая для численного интегрирования по времени, является реализацией, предоставляемой модулем scipy.integrate.ode. Отчетное время представляет собой среднее время выполнения на одной машине.

Настройка зазора

Для каждого и для каждого из значений, выбранных равномерно из интервалов, указанных выше, мы вычисляем прогоны полной процедуры, описанной выше — см. Настройка зазора: Методология. Для каждого такого прогона мы вычисляем значения до и после и для трех значений входной амплитуды форсирования, которые мы принимаем одинаковыми для всех входных узлов:.Эти результаты для и, усредненные по прогонам, показаны на рисунках 8, 9 и 10.

Рисунок 8. Результаты случайного графа Барабаши-Альберта.

Слева направо представлены результаты для случайных графов Барабаши-Альберта с узлами,, и. Для каждого графа мы используем алгоритм (36) для модификации индуктивностей таким образом, чтобы отношение наименьшего собственного значения ко второму наименьшему собственному значению было равно. Мы используем до и после для обозначения графиков до и после применения алгоритма (36) соответственно.Уменьшая зазор между первыми двумя собственными значениями, энергия, передаваемая высшим гармоникам (37), может быть увеличена примерно с% до% (для всех размеров графиков), а максимальное напряжение (38) может быть увеличено с вольт до вольт (в зависимости от от размера графика). Также отметим, что для больших графиков выбор (т.е. отсутствие разрыва между первыми двумя собственными значениями) не дает оптимального поведения.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0078009.g008

Рисунок 10.Результаты случайного графа Эрдеша-Реньи.

Слева направо представлены результаты для случайных графов Эрдеша-Реньи с узлами,, и. Для каждого графа мы используем алгоритм (36) для модификации индуктивностей таким образом, чтобы отношение наименьшего собственного значения ко второму наименьшему собственному значению было равно. Мы используем до и после для обозначения графиков до и после применения алгоритма (36) соответственно. Уменьшая зазор между первыми двумя собственными значениями, энергия, передаваемая высшим гармоникам (37), может быть увеличена до% (в зависимости от размера графика), а максимальное напряжение (38) может быть увеличено до (в зависимости от размера графика) .Результаты для графиков Эрдеша-Реньи гораздо сильнее зависят от количества узлов, чем результаты, показанные на рисунках 8 или 9. Обратите внимание, что пиковые напряжения для графиков с амплитудой воздействия являются наибольшими напряжениями для любых графиков, рассматриваемых в этой статье. Мы можем увеличить пиковое напряжение для меньших графиков, выбрав меньшее значение проводимости, чем (для всех узлов) значение, используемое для вычисления результатов на этом рисунке.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0078009.g010

На рисунке 8 показаны результаты для графиков Барабаши-Альберта (BA). Уменьшая зазор между первыми двумя собственными значениями, процент энергии, передаваемой высшим гармоникам (37), может быть увеличен примерно на один порядок для всех размеров графиков, в то время как максимальное значение напряжения (38) может быть увеличено в несколько раз. от до, в зависимости от размера графика. Обратите внимание, что для больших графиков выбор, то есть принудительное совпадение первых двух собственных значений, не приводит к оптимальной передаче энергии высшим гармоникам.

Результаты на рисунке 9 для графиков Уоттса-Строгаца (WS) аналогичны результатам для графиков BA. Мы снова обнаруживаем, что за счет сокращения разрыва между первыми двумя собственными значениями энергия, передаваемая высшим гармоникам (37), может быть увеличена. Однако значения для графиков Уоттса-Строгаца примерно в два раза больше, чем значения для графиков Барабаши-Альберта на рисунке 8. Для всех размеров графиков настройка промежутка между собственными значениями может увеличить процент энергии, передаваемой высшим гармоникам, в раз. до, в то время как максимальная величина напряжения может быть увеличена примерно на один порядок.

На рисунке 10 мы представляем результаты для графов Эрдеша-Реньи. Результаты снова подтверждают вывод о том, что за счет сокращения разрыва между первыми двумя собственными значениями схема может передавать больше энергии высшим гармоникам и увеличивать пиковую величину выходных сигналов. В частности, мы видим, что энергия, передаваемая высшим гармоникам (37), может быть увеличена до%, а максимальное напряжение (38) может быть увеличено до.

Результаты для графов Эрдеша-Реньи гораздо сильнее зависят от количества узлов, чем результаты, показанные на рисунках 8 или 9.Обратите внимание, что пиковые напряжения для графиков с амплитудой воздействия являются наибольшими напряжениями для любых графиков, рассмотренных в этой статье. Мы можем увеличить пиковое напряжение для меньших графиков, выбрав меньшее значение проводимости, чем (для всех узлов) значение, используемое для вычисления результатов на Рисунке 10.

Для всех трех типов графиков значения до и после увеличиваются в зависимости от входной амплитуды форсирования.

Код

Весь код, необходимый для воспроизведения вышеуказанных результатов, был размещен в виде общедоступного репозитория на GitHub, доступном по следующему URL-адресу: https: // github.com / GarnetVaz / Нелинейные электрические осцилляторы

Мы используем Python вместе с модулями numpy, scipy, matplotlib и networkx для всех числовых вычислений. Код, который генерирует рисунки 8, 9 и 10, настроен на использование процессоров с использованием модуля многопроцессорной обработки с открытым исходным кодом. Для построения графика мы используем R вместе с пакетами ggplot2, plyr и reshape. Все используемые языки, пакеты и модули имеют открытый исходный код.

Предполагая, что все пакеты и модули были правильно установлены, можно воспроизвести все результаты, запустив коды Python numerical_comparison.py и graphmulti.py. Для работы последнего кода может потребоваться несколько часов. Коды Python будут генерировать цифры с помощью R; предоставляемые нами коды R не нужно запускать независимо.

Дополнительные сведения о том, как запускать коды, включая конкретные версии необходимых пакетов и модулей, приведены в файле README.md по указанному выше URL-адресу.

Предоставляемый нами код можно легко изменить для запуска моделирования, не описанного здесь. Например, можно сравнить пертурбативные / итерационные алгоритмы с численным интегрированием, используя графики, отличные от графа сетки, использованного выше.Можно также изучить результаты настройки пробелов для случайных графов с параметрами, отличными от выбранных нами.

Купить запчасти ВАЗ 2101-2106 Двигатели тюнинг, цены в Автотюнинг

Сортировать по:

РаспродажаНовинкаГорячие действияЛучшиеСвободная распродажаПродвижение — 50% ДОЛЖНЫ БЫТЬ ПРОДАЖИ 2019Новый сезонExclusiveDefaultName (A — Z) Имя (Z — A) Цена (Низкая> Высокая) Цена (Высокая> Низкая) Рейтинг (Наивысшая) Рейтинг (Самая низкая) Модель (A — Z) Модель (Я — А)

Производитель: ELRING (Германия)
Код товара: 115.100

Простая и качественная деталь (изготовлена ​​из ..

Производитель: MAHLE (Германия)
Код товара: MAH 4481000

Поршень высокого качества с поршневыми кольцами…

Производитель: MAHLE (Германия)
Код товара: MAH 4481001

Поршень высокого качества с поршневыми кольцами…

Производитель: MAHLE (Германия)
Код товара: MAH 4481002

Поршень высокого качества с поршневыми кольцами…

Производитель: MAHLE (Германия)
Код товара: MAH 4481004

Поршень высокого качества с поршневыми кольцами…

Производитель: MAHLE (Германия)
Код товара: MAH 4481700

Поршень высокого качества с поршневыми кольцами…

Производитель: MAHLE (Германия)
Код товара: MAH 4481701

Поршень высокого качества с поршневыми кольцами…

Производитель: MAHLE (Германия)
Код товара: MAH 4481702

Поршень высокого качества с поршневыми кольцами…

Производитель: MAHLE (Германия)
Код товара: MAH 4481703

Поршень высокого качества с поршневыми кольцами…

Производитель: MAHLE (Германия)
Код товара: MAH 4481704

Поршень высокого качества с поршневыми кольцами…

Производитель: AMP (Польша)
Код товара: PR-LAD-44-2803-000-SET

Набор состоит из трех типов колец..

Производитель: AMP (Польша)
Код товара: PR-LAD-44-2803-040-SET

Набор состоит из трех типов колец..

Производитель: AMP (Польша)
Код товара: PR-LAD-44-2803-070-SET

Набор состоит из трех типов колец..

Производитель: AMP (Польша)
Код товара: PR-LAD-44-2803-080-SET

Набор состоит из трех типов колец..

Производитель: AMP (Польша)
Код товара: PR-LAD-49-2803-000-SET

Набор состоит из трех типов колец..

Производитель: AMP (Польша)
Код товара: PR-LAD-49-2803-040-SET

Набор состоит из трех типов колец..

Производитель: AMP (Польша)
Код товара: PR-LAD-49-2803-070-SET

Набор состоит из трех типов колец..

Производитель: AMP (Польша)
Код товара: PR-LAD-49-2803-080-SET

Набор состоит из трех типов колец..

Производитель: AMP (Польша)
Код товара: PR-LAD-44-2803-100-SET

Набор состоит из трех типов колец..

Производитель: AMP (Польша)
Код товара: PR-LAD-44-2804-000-SET

Набор состоит из трех типов колец..

Показано с 1 по 20 из 35 (2 страницы)

Race Parking VAZ 2102 City Area в Google Play для США

Описание

 Лучший симулятор вождения автомобиля 2020 года с самой реалистичной физикой вождения, неограниченными возможностями настройки, огромным открытым миром, захватывающим игровым процессом и бесконечным весельем!  Выберите свой автомобиль, настройте его и приступайте к парковке.Выберите камеру и измените способ обзора парковой дорожки, будь то снаружи автомобиля или внутри капота. Если вам нравятся игры с 3D-парковкой, вождение автомобиля и симуляторы, скачайте Race Parking VAZ 2102 City Area Game прямо сейчас, выберите один из захватывающих режимов парковки и припаркуйте свой автомобиль!
Побеждайте в испытаниях на каскадерских трассах на своей потрясающей каскадерской машине! Гоняйте по трассам с трамплинами, петлями и препятствиями! Победите полицейские машины в Сан-Франциско! Испытайте новые гоночные уровни против машины противника! Начните играть в веселые треки прямо сейчас и бросьте вызов себе, чтобы получить три звезды на всех уровнях!  В гараже доступны только лучшие варианты тюнинга.Выберите деталь, которую нужно обновить, и сделайте ее за игровые монеты. Неоновый тюнинг, спойлеры и многие другие функции были созданы для того, чтобы вы могли наслаждаться игровой зоной.  Пожалуйста, наслаждайтесь одной из самых интересных игр про парковку с разным количеством уровней. В гараже вы найдете автомобили для тюнинга, затем вы сможете поменять колеса, цвет и модернизировать двигатель и подвеску.  Особенности игры Race Parking ВАЗ 2102 City Area:
-------------------------------------------------- -------------------
- ПАРКОВКИ
- ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКИЕ ОПЦИИ НАСТРОЙКИ
- ОПЦИИ НАСТРОЙКИ КОЛЕС
- ТАМОЖЕННЫЙ ГАРАЖ
- МОДЕРНИЗАЦИЯ ENGIINR
- МОДЕРНИЗАЦИЯ ПОДВЕСКИ  ВНИМАНИЕ: Race Parking ВАЗ 2102 City Area Game не требует подключения к интернету после установки! Да здравствует офлайн-игра о парковке!  ВНИМАНИЕ: Race Parking VAZ 2102 City Area Game в настоящее время не имеет функции сохранения в облаке.Весь игровой прогресс и покупки в приложении могут быть потеряны после удаления этой игры-симулятора парковки.